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En eiïet, cette droite correspond à une solution particulière 

 de l'équation de Riccati, qui peut dès lors s'intégrer. 



C'est ce qui a lieu, entre autres, pour les surfaces réglées à 

 plan direcleur. Ces surfaces, à l'exception du cylindre, sont 

 gauches (conoïdesj. Leurs génér-atrices rencontrent alors la 

 droite de l' infini de ce plan. Les asymptotiqnes de la seconde série, 

 dont cette droite fait partie, interceptent alors sur deux généra- 

 trices quelconques des segments proportionnels ^ ; en d'autres 

 termes, les ponctuelles homographiques déterminées sur ces géné- 

 ratrices sont semblables. 



Sur les quadriques gauches, les deux systèmes de généra- 

 trices rectilignes figurent, comme déjà dit, les deux séries 

 d'asymptotiques. On en conclut que, dans le cas de l'hyper- 

 boloïde à une nappe, les génératrices d'un système déterminent 

 sur deux droites de V autre système des divisions homographiques ; 

 et que, dans celui du paraboloïde hyperbolique, toutes les géné- 

 ratrices d'un même système divisent deux génératrices quelconques 

 de l'autre système en parties proportionnelles. Réciproquement, 

 étant données deux ponctuelles homographiques, dont les bases ne 

 sont pas situées dans un même plan, le lieu des droites qui 

 joignent deux points homologues quelconques est une quadrique 

 gauche. Cette quadrique sera un paraboloïde hyperbolique si 

 les deux ponctuelles en question sont semblables: d'où la 

 génération rectiligne de cette surface au moyen d'un quadri- 

 latère gauche. Dans le cas général, la surface engendrée sera 

 un hyperboloïde à une nappe. 



Nous avons vu, au début de cette étude, que la fonction 

 inconnue qui entre dans une équation de Riccati est liée à la 

 constante d'intégration par une équation bilinéaire, et que, 

 réciproquement, cette propriété n'appartient qu'aux équations 

 de cette nature. Soit, en effet, une relation de la forme 



Ae^ + By + Ce + D = o, 



A, B, C, D étant des fonctions connues de x, et 6 une con- 

 stante arbitraire. On en tire 



^_ B;/ + D 



A;/ + C' 

 d'où, en dérivant, 



{ky + C) (B'y + By' + D') - Qiy + û) {M y + ky' + C) = o, 



1 P. Serret. Loc. cit. 



