— 208 — 



qui est bien une équation de Riccati, sous la forme que Goid- 

 bach lui a donnée. 



Or, l'équation bilinéaire ci-dessus, qui exprime qu'à 

 chaque valeur de 6 correspond une seule valeur de y, et réci- 

 proquement, est la relation fondamentale d'homographie de deux 

 formes géométriques de première espèce, en particulier de 

 deux ponctuelles. L'équation de Riccati, qui s'en déduit par 

 le procédé indiqué, peut donc être regardée comme l'expres- 

 sion différentielle de la correspondance homographique, ou 

 de la correspondance (1, 1), de deux formes fondamentales de 

 première espèce. 



Lorsque le coefficient A du produit des deux paramètres 

 déterminatifs 6 et ^ est nul, la relation d'homographie se 

 réduit à 



B2/ + Ce + D = o, 



d'où 6 = ^-^ . 



G 



La dérivation donne alors 



B C?/ + (GB' — BC) ?/ + GD' - DG' =- o, 



équation diiïérentielle linéaire en y, qui provient de celle de 

 Riccati par l'évanouissement du terme en y^. Dans ce cas, les 

 points à l'infmi des deux ponctuelles considérées, pai' exemple, 

 se correspondent, de manière que leurs points de fuite sont à 

 l'infmi. 



De la relation 



B?/ + Go + D = o, 

 on déduit aisément 



y = k^, 



k étant une constante. Il existe donc un rapport constant entre 

 deux segments homologues quelconques des deux ponctuelles 

 projectives. On dit, pour cette raison, que ces ponctuelles sont 

 semblables (ou égales). Nous avons trouvé des divisions homo- 

 gi'aphiques de ce genre dans les surfaces réglées à plan direc- 

 teur, en particulier dans le paraboloïde hyperbolique. 



Il résulte de tout ce qui précède que l'équation de Riccati 

 mérite d'être placée à la base de la théorie de l'homographie. 

 Elle forme, poui' ainsi dire, le- trait d'union entre l'analyse et 

 la géométrie. Les propriétés si curieuses de ses intégrales sont 

 une mine inépuisable de recherches élégantes et fécondes. 

 Nous y reviendrons quelque jour. 



