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les coordonnées homogènes de la sphère. D'où deux 
conceptions différentes du même objet. Dans la pre- 
mière, que M. F. Klein désigne sous la dénomination 
de géométrie élémentaire des sphères, on n’emploie que 
les cinq paramètres à, b, c,d, e. Le groupe qui lui corres- 
pond est celui des transformations ponctuelles dites 
conformes, dont la conservation des angles est le 
caractère distinctif. La plus connue est l’inversion ou 
transformation par rayons vecteurs réciproques, dont 
la projection stéréographique n’est qu’un cas particu- 
lier. Le propre de ces méthodes réside dans le chan- 
gement des sphères en sphères, le plan étant assimilé 
à une sphère de rayon infiniment grand. Cette géomé- 
trie a conduit M. Darboux à des recherches du plus 
haut intérêt sur les cyclides!, ces surfaces du qua- 
trième ordre, ou quartiques, admettant pour ligne 
double, ou courbe nodale, le cercle de l'infini. Le 
tore, les podaires et les inverses de quadriques, sont 
les exemples les plus simples de ce genre de surfaces, 
dont la classique cyclide de Dupin est le type le plus 
remarquable. 
Dans la géométrie supérieure des sphères ou de Lae, 
comme l'appelle M. F. Klein, on introduit la sixième 
grandeur 7, liée aux cinq précédentes par l’équation 
homogène déjà mentionnée : 
DRE —ae=r, 
1 DarBoux, Sur une classe remarquable de courbes et de sur- 
faces algébriques, mémoire présenté à l’Académie des sciences en 
1869, 1re édit., 1873 ; 2me édit., 1896. — Leçons sur la théorie générale 
dès surfaces, 1887-1896. 
Voir aussi: Casey, Sur les cyclides et les sphéro-quartiques 
(Phil. trans., t. CLXI):; Mourarp, Nouvelles annales de mathéma- 
tiques, 1864; NeuBErG, Sur la cyclide de Dupin (Mémoires de la 
Société royale des sciences de Liége, 2e série, t. X, 1884); SALMON, 
Traité de géométrie analytique à trois dimensions (trad. O. Che- 
min), 3e partie, 1892; etc. 
