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Le groupe correspondant n’est plus caractérisé par 
des transformations ponctuelles. En effet, toute sphère 
de rayon nul, c’est-à-dire tout point de l’espace, 
devient une sphère dont le rayon est, en général, 
différent de zéro. Un point se transforme ainsi en 
une sphère de rayon déterminé. De plus, des sphères 
primitivement en contact demeurent encore en contact 
après la transformation. Nous sommes ainsi conduits 
aux fameuses transformations dites de contact, dont la 
découverte constitue un des plus beaux titres de 
gloire du géomètre scandinave, bien qu’occasionnelle- 
ment entrevues avant lui par Legendre, Plücker et 
Jacobi!. Comme leur nom l'indique, dans ce genre 
de transformations, le contact est une propriété 
invariante. Les courbes, ou les surfaces, qui se tou- 
chent, se changent en courbes, ou en surfaces, possé- 
dant la même vertu. 
Dans sa géométrie de la droite, Plücker avait introduit 
six coordonnées homogènes, liées entre elles par une 
équation quadratique également homogène. Lie ne 
tarda pas à discerner l’étonnante connexion de sa 
propre géométrie des sphères avec la géométrie 
plückérienne de la droite. De simples substitutions 
linéaires lui permirent de passer de l’une à l’autre; 
dès 1870, il parvint ainsi à « rattacher toute proposi- 
tion relative à des droites à une proposition relative 
à des sphères et vice versa? ». Il reconnut, en premier 
lieu, que deux sphères en contact correspondent à 
deux droites qui se coupent, remarque qui l’amena à 
1 Lie, Begründung einer Invariantentheorie der Berührungs- 
transformationen (Math. annalen, t. VIII), Leipzig, 1872. 
2 DarBoux, Etude sur le développement des méthodes géomeé- 
triques, Paris, 1904. 
