— 142 — 
établir un rapprochement ingénieux entre deux surfa- 
ces en apparence complètement dissemblables : l’hy- 
perboloïde à une nappe et la cyclide de Dupin. On 
sait, en effet, que toutes les droites (génératrices) qui 
rencontrent trois droites fixes quelconques (directrices), 
en rencontrent une infinité. C'est en quoi consiste la 
génération rectiligne de l’hyperboloïde, qui forme, 
avec son voisin le paraboloïde hyperbolique, la classe 
si intéressante des quadriques gauches. De même, 
toutes les sphères tangentes à trois sphères fixes en 
touchent une infinité. L’enveloppe de ces sphères 
n’est autre que la cyclide de Dupin, dont il a déjà 
été fait mention plus haut. Le colonel Mannheim a 
démontré d’une façon élégante que cette surface 
remarquable à tant d’égards est la transformée d’un 
tore par rayons vecteurs réciproques. 
Poursuivant le cours de ses investigations, dont le 
début avait été si brillant, Lie fut conduit quelques 
années plus tard (1872-1873) à la transformation 
générale qui porte son nom. Partant de l'idée de 
l'élément de contact ou de surface (on appelle ainsi l’en- 
semble d'un point et d’un plan passant par ce point), 
il parvint à remplacer des lignes se coupant dans 
l'espace par des surfaces tangentes entre elles, et à 
faire correspondre les lignes de courbure d’une 
surface aux lignes asymptotiques de sa transformée, 
et réciproquement. D'où le beau théorème, auquel 
M. G. Humbert, professeur à l'Ecole polytechnique 
de Paris, donne l’énoncé suivant: 
«Soient deux surfaces, s et S, transformées l’une 
1 GOURSAT, Cours d'analyse mathématique, t. I, p. 592. 
Paris, 1902. 
HumeerT, Cours d'analyse, t. I, p. 446, Paris, 1903. 
