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équations aux dérivées partielles du premier ordre, 
il réussit à définir, même dans les cas les plus 
spéciaux, les trois sortes de solutions dont elles sont 
susceptibles : complèle, générale et singulière. Malgré les 
admirables travaux de Monge, de Lagrange, de Jacobi 
et de Cauchy, ce chapitre important du calcul infini- 
tésimal péchait par un manque de précision et d’uni- 
formité. Lie sut, le premier, ramener toutes les 
variétés de ces équations, en apparence distinctes les 
unes des autres, à un type unique très simple. Les 
transformations de contact lui fournirent ensuite un 
mode de représentation géométrique de leurs inté- 
orales, qui ne laisse rien à désirer au double point 
de vue de l'élégance et de la clarté. 
Résumons ici, d’après l'excellent aperçu qu'en 
donne M. F. Klein, les idées de Sophus Lie sur ce 
sujet. On sait que les équations aux dérivées partielles 
du premier ordre à deux variables indépendantes 
sont de la forme 
[(,,y, 2, p, 9) =0, 
p et q étant les dérivées premières de la fonction 2 
par rapport à æ et y respectivement. 
Toute équation différentielle de ce genre admet 
trois sortes de solutions, savoir : 
4o Une solution renfermant deux constantes arbi- 
traires. C’est l’intégrale complète. 
20 Une solution dépendant d’une fonction arbitraire. 
rest l'intégrale générale. 
30 Une solution qui ne contient rien d’arbitraire. 
C'est l'intégrale singulière. 
