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Lagrange ! a montré comment, la première de ces 
solutions étant connue, on en peut déduire les deux 
autres, à l’aide de simples différentiations et élimina- 
tions. C’est la méthode généralement suivie dans les 
cours actuels ?. 
« Dans l’ancienne théorie classique, ainsi s'exprime 
M. F. Klein, on fait une distinction suivant la manière 
dont p et qg se présentent dans l’équation. Aïnsi, 
lorsque p et g y entrent au premier degré, l’équation 
est dite linéaire ; si p et qg tous deux étaient absents, 
l’on ne regarderait pas l'équation comme étant une 
équation différentielle. Au point de vue de la nouvelle 
géométrie de Lie, ces distinctions disparaissent com- 
plètement, comme nous allons le voir. 
« Le nombre de tous les éléments de surface, dans 
tout l’espace, est évidemment 5. 
« Ecrire notre équation différentielle, c’est mettre 
à part, prendre parmi ces éléments une variété à 
quatre dimensions M, de " éléments. 
« Or, trouver une solution de l’équation au sens de 
Lie, c’est prendre encore dans cette M,, et mettre à 
part, une variété M, jouissant de la propriété carac- 
téristique ; que cette M, soit point, courbe ou surface, 
c'est là chose indifférente. 
« Ce que Lagrange nomme trouver une solution 
complète consiste à partager lM, en °? variétés M4. 
Ceci, naturellement, peut être pratiqué d’un nombre 
infini de manières. Enfin, si dans ces °? variétés M, 
1 Mémoires de l'Académie des sciences de Berlin, 1774, p. 266, 
2 Voir entre autres : Hoüez, Cours de calcul infinitésimal, t. TI, 
p. 186-189. Paris 1880. 
HumserT, Cours d'analyse, t, II, p. 456-460. Paris, 1904. 
GoursaT, Cours d'analyse mathématique, t. II, p. 992-099, 
Paris, 1905. 
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