— 147 — 
l’aide d’une transformation de contact, toute équation 
aux dérivées partielles du premier ordre peut être 
mise sous cette forme particulière si simple, : — (0. 
Ainsi, toute la disposition des solutions que nous 
venons d’esquisser à grands traits reste valable et 
légitime d’une manière toute générale. » 
L'étude des transformations de contact apporta 
aussi quelques éclaircissements à la théorie encore si 
obscure des équations aux dérivées partielles d'ordre 
supérieur au premier. Elle permit à Lie, en parti- 
culier, de généraliser les recherches si originales de 
Monge et d'Ampère sur l'intégration des équations 
du second ordre à deux variables indépendantes, et 
d'indiquer tous les cas où la méthode des caractéristi- 
ques du premier de ces géomètres est pleinement 
applicable à ce genre d’expressions. 
Les équations aux dérivées partielles du second 
ordre attirèrent l'attention de Lie sur les surfaces 
minimu. On donne ce nom aux surfaces qui ont pour 
indicatrice, en chaque point, une hyperbole équilatère, 
ou, en d’autres termes, celles dont les rayons de 
courbure principaux sont égaux et de signe contraire. 
Lagrange (1760-1761) et Meusnier (1785) en ont fondé 
la théorie. Mais c’est à Monge que l’on doit la pre- 
mière intégration de leur équation aux dérivées par- 
tielles. Lie perfectionna la méthode et les formules 
du géomètre français et résolut, d’une manière com- 
plète, le problème concernant la détermination de 
toutes les surfaces minima algébriques inscrites dans 
une développable algébrique, sans que la courbe de 
contact soit donnée!. [Il fut ainsi, dans ce chapitre 
1 Darpoux, Etude sur le développement des méthodes geéomé- 
triques, p. 29. 
