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si attrayant de la géométrie infinitésimale, l’émule 
heureux des Bonnet, des Darboux, des Riemann, des 
Schwarz et des Weïerstrass. 
Lie eut moins de succès lorsqu'il tenta d’intégrer 
l'équation aux dérivées partielles des surfaces à cour- 
bure constante. On sait que, R, et R, étant les rayons 
de courbure principaux, l’on donne à l'inverse du 
produit R,R, le nom de courbure totale de la surface 
au point considéré, tandis que la somme à  — 
2 \ R; 708 
en est la courbure moyenne. La condition de constance 
de l’une ou de l’autre de ces courbures est une équa- 
tion différentielle, que Bour prétendait avoir complè- 
tement intégrée. S. Lie, voulant en avoir le cœur net, 
essaya, mais en vain, d'appliquer une méthode géné- 
rale d'intégration des équations aux dérivées partielles 
à l'équation particulière des surfaces à courbure 
constante. Cependant, ses efforts, et ceux des géomè- 
tres ses contemporains, ne demeurèrent pas infruc- 
tueux. Comme M. Darboux le fait fort judicieusement 
remarquer, «sil est impossible de déterminer en 
termes finis toutes ces surfaces, on a pu du moins 
en obtenir quelques-unes, caractérisées par des pro- 
priétés spéciales, telles que celle d’avoir leurs lignes 
de courbure planes ou sphériques; et l’on a montré, 
en employant une méthode qui réussit dans beaucoup 
d’autres problèmes, que l’on peut faire dériver de 
toute surface à courbure constante une infinité 
d’autres surfaces de même nature, par des opérations 
nettement définies qui n’exigent que des quadra- 
ATEN UN 
1 Darpoux, Etude sur le développement des méthodes géomé- 
triques, p. 26. 
