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b—#(a). Du reste, chacune des enveloppées touche 
leur enveloppe commune tout le long d'une ligne, 
appelée caractéristique. 
La solution singulière, s’obtenant par l'élimination 
de a et b entre 
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est l'enveloppe du système doublement infini des sur- 
faces intégrales, chacune de celles-ci la touchant en 
un nombre limité de points (points caractéristiques). De 
plus, il est facile d'établir que la solution singulière 
est aussi l’enveloppe de toutes les surfaces données 
par l'intégrale générale. 
Les exemples cités précédemment à lappui de la 
méthode de Lagrange confirment, jusque dans leurs 
moindres détails, ces faits géométriques. 
Considérons maintenant une surface intégrale pas- 
sant par le point donné (x,y,2) de l’espace. L’équa- 
tion du plan tangent à la surface en ce point est de 
la forme 
Z—2—p(X— x) +q(X—y), 
les coefficients angulaires de ce plan étant liés par la 
relation 
f(x, Y»2, P; q)= 0. 
On en conclut qu’en chacun des points où l’une ou 
l’autre enveloppe (solution générale ou singulière) 
touche une des surfaces intégrales (solution com- 
plète), les valeurs communes de x,y,2,petq doivent 
vérifier l'équation différentielle proposée. 
Deux surfaces intégrales quelconques se rencon- 
trent en général suivant une certaine ligne en cha- 
L 
