RÉSUMÉS 289 
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Je, t, 
déterminent z2,, 2, comme fonctions des variables %,, , et les 
expressions symétriques 2+2, = F(u;,u), 22 — Æ,(u,w:) 
présentent les fonctions demandées, que l’auteur appelle simple- 
ment fonctions de Fuchs, à deux variables. Le but que 
M. Fuchs s'était proposé consistait à déterminer les conditions 
nécessaires et suffisantes pour que #, F, soient des fonctions 
uniformes. Pourtant quelques inexactitudes se sont glissées dans 
l’un de ces mémoires (Über eine Klasse von Functionen mehre- 
rer Variabeln, welche ete., Crelles J. t. 89.) ainsi que dans 
la thèse de doctorat de M. Lohnstein („Über lineare homo- 
gene Differentialgleichungen, welche ete.“, Berlin, 1890). En 
outre, cette dernière contenant quelques restrictions superflues 
qui rétrécissent la généralité du raisonnement, il en est 
résulté un doute relativement à l'étendue de l'existence des fonc- 
tions A, F, ainsi qu'à la question de savoir s’il n'existe 
d'autres équations différentielles conduisant aux fonctions 
F,,F,, en dehors de celles qu'ont fait connaître les deux au- 
teurs nommés. 
L'auteur a entreprit de soumettre à une critique rigoureuse 
les résultats en question. Se basant sur les conditions de 
M. Fuchs,qui sont indispensables pour que les fonctions Æ, F, 
soient uniformes (Über Functionen zweier Variabeln ete.“, Abh. 
der k. Gesellschaft d. W. zu Göttingen, 1891) et ensuite sur le 
théorème de M. Fuchs, qui expose les conditions sous lesquel- 
les les équations différentielles possèdent des solutions algé- 
briques, l’auteur démontre qu’en effet un cas particulier im- 
portant a été omis dans les travaux que nous venons de citer, 
qu'en dehors de ce cas et en dehors des exemples connus et 
cités par MM. Fuchs et Lohnstein, il n'existe pas d’équa- 
tions différentielles aux coefficients rationnels conduisant aux 
fonctions fuchsiennes #,, F, uniformes. 
La question peut dorénavant être considérée comme 
résolue. 

