Dans un célèbre mémoire !) Jacobi met ce polynôme en relation 
avec la fonction Y,, somme des termes en y", y"T.../’" dans le 
développement de Maclaurin correspondant à la fonction transcen- 
dante 
! \n 
(og (1+ y) }, 
de sorte que la différence des deux expressions soit une série 
entière de la forme 
(8) {log (1+y)ÿ—Y,=a,g + a, ny Laye +... 
La relation en question consiste en la congruence arithmétique 
; Ines 
(4) FA +y)=—;; Y, (mod p). 
L'importance de la féconde découverte du grand géomètre ressor- 
tira en considérant le cas particulier de # = m, où l’on fait 
P = 2 — 8 
le résultat de Jacobi devient. dans le cas considéré. 
sie 
(D) Q (x) = — Et Y,(æ— 1) (mod. p), 
où Q (x) désigne le polynôme intéressant 
N 
(6) Q@= D (Ce 
Y=1 
Les coefficients de ce polynôme étant 1 ou —1, la congruence (5) 
le détermine sans ambiguité dès qu'on possède l’expression du po- 
lynöme Y,, (x —1). 
Dans ce qui suit, je vais démontrer la congruence de Jacobi (4), 
et j'y ajoute quelques conséquences du théorème (5). 
1. La congruence (1) donne immédiatement 
1 
ind Y IL D) 
a qu pr (mod. p), 
ce qui permet de remplacer la fonction F, (x) par la suivante 
p—1 
nV 
2* ee 
( ) ®, (x) Z 2" ? 
V=1 
1) Ueber die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie (Jour- 
nal de Crelle, T. 30, 1837; Werke, T. 6. p. 254). 
