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dans le second membre toutes les sommations indiquées donnent des 
multiples de p, et il ne reste que le terme 4% (p—1) ou bien 
p—1 
S'(2) 2 2 
zz (5) cn A (mod. p). 
V=1 
Cela étant, la formule (7) permet de conclure 
(8) D, (1+y) = — > AP M (mod. »), 
kn 
et il ne s’agit que du polynôme qui constitue le deuxième membre. 
D'après la définition des nombres 4%, la somme 
= Y . 
(8) S— — V'4® y" 
D 1 : 
k=n 
est le coefficient de x" dans le développement suivant les puissances 
de x de la fonction 
p—1 
ke IR IE EN 5 
(9) ONE > 6% Us 
k=0 
en d'autres termes 
: 1 
(10) == ZIP (0). 
Ce point établi, la formule du binôme donne 
a+y+9@)= N Ben 
u=0 
pourvu que l'on ait y 1. La convergence étant uniforme dans 
les séries qui résultent par différentiations successives, on en tire 
en prenant les dérivées d'ordre » par rapport à x et faisant æ—0 
dans le résultat, 
00 
s log (1 + m +9" (= Na. vr, 
n=0 
la signification des coefficients 4,,, étant évidente. 
D'après la définition du polynôme Y,(y) on en conclut 
FH =—g"(0)=—n1S, 
et la congruence (.) devient 
1 
(11) D, (1 Ly) = — AT Y,(y) (mod. p) 
