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méthode analogue à celle de M. Le Rov. ï^nfin j'ai') établi l'exi- 

 stence des fonctions en question par une méthode tout à fait dif- 

 férente de celles des précédents auteurs. M. Stekloff s'est aperçu 

 lui-même, ainsi qu'il a bien voulu me le communiquer, que sa démon- 

 stration était illusoire et que l'objection qui pouvait lui être faite 

 était aussi applicable à la démonstration de M. Le Roy. M. Kern 

 a fait de son côté la même remarque et il a eu l'obligeance de 

 m'en faire part dans une lettre que j'ai reçue à peu près en même 

 temps que celle de M, Steklotf. 



Cela posé, il est d'un grand intérêt, pour la théorie des fonc- 

 tions fondamentales, de s'assurer si, malgré l'insuffisance des dé- 

 monstrations, les théorèmes sur lesquels reposent les méthodes de 

 M. Le Rov et de M. Stekloff sont exacts. 



C'est précisément ce qui sera le but de ce travail. La réponse 

 à la question qui nous occupe peut être donnée sous une forme 

 très simple et tout à fait générale mais, pour l'énoncer, il est néces- 

 saire de rappeler les définitions qui servent de point de départ aux 

 recherches concernant les divers genres de fonctions fondamentales. 



Pour plus de brièveté, je renverrai à mon mémoire: Sur la 

 théorie de l'équation de Laj)lace et les méthodes de Neumann et 

 de Robin -) pour l'énoncé des hypothèses que doit vérifier la surface 

 fermée (S) que nous allons avoir à considérer constamment ainsi 



que pour la définition précise des dérivées ( rjrj) et ( t^v) d'une fonc- 

 tion F suivant la normale à la surface (S); je me bornerai sim- 

 plement à rappeler que la normale est supposée être dirigée vers 

 l'intérieur de la surface et que les indices e et / servent à dis- 

 tinguer la déi'ivée calculée pour le côté extérieur de la surface, de 

 la dérivée calculée pour le côté intérieur. Dans les cas particuliers 



où l'existence de la relation ( — r ) = ( ,.>) en chaque point de la 



surface seniit évidente, nous supprimerons les indices. Cela posé, les 

 fonctions fondamentales correspondant aux diverses définitions ont 



') Zaremba. Sur la tliéorie île l'équation de Laplace ot los méthodes de 

 Neamann et de Robin. Bulletin de \'.\c. des S. de Craoovie, Mars 1901. Zaremba. 

 Sur rintéjrration de l'équation aux dérivées partielles Au+^u=0. C. K. de l'Ac- 

 de Paris 2-i .luin 19U1. Voir aussi Korn: Uebor ein Satz von Zaremba und die 

 Methode des arithmetischen Mittels im Kaume. Berlin 1902. 



') bulletin international de l'AcadOniie des Sciei.ces de Cracovie, Mars 1901 



