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Les résidus relatifs h. ces pôles seront des fonctions fondamen- 

 tales de M. Poincaré. mais ces résidus seront aussi des fonctions 

 fondamentales de M. Le Roy et auront toutes pour nombre caracté- 

 ristique le nombre i;»- 



Il est aisé de conclure de tout cela la proposition suivante: 

 Dans les conditions où nous nous sommes placés, il est possible de 

 former un ensemble dénombi'able de fonctions dont chacune est une 

 fonction fondamentale à la fois au sens de M. Poincaré et de M. Le 

 Roy, en outre toute fonction fondamentale de M. Le Rov est une 

 Combinaison linéaire homogène et à coefî"icients constants d'un nombre 

 fini de fonctions appartenant à l'ensemble précédent. Donc, il est 

 aisé de le voir, le théorème I est démontré. La démonstration du 

 théorème II est absolument analogue à celle du théorème I, on 

 aura soin seulement de considérer, au lieu de la fonction U définie 

 par l'équation (3) la fonction T, potentiel de simple couche défini 

 par l'i'Mjuation suivante: 



No 4. Nous désirons, en terminant, faire quelques remarques au 

 sujet des résultats précédents 



Observons en premirr lieu que lorsqu'une surface jouit de la 

 propriété exprimée par la relation (7) du N" 1 il est très aisé de 

 résoudre, pour cette surface, le problème de la distriliution électro- 

 statique; ainsi par exemple, on retrouve très simplement, par cette 

 voie, le résultat bien connu relatif à l'ellipsoïde. Voici maintenant 

 une extension que l'on [leut apporter à la théorie exposée dans les 

 numéros précédents. J'ai montré ailleurs ') que la notion de chacune 

 des trois espèces de fonctions fondamentales pouvait s'étendre au cas 

 où l'on remplace l'équation de Laplace par l'équation 



9^ F , S- F , 9-^ F 



d x^'^ 9 y-'^ 3 z- 



lF=0 



où \ est un nombre réel et négatif. On peut donc se poser dans ce 

 cas général une question tout à fait analogue à celle qui nous a 



') Voir, outre les travaux déjà cités, mou mémoire: Sur les fonctions dites 

 fondamentales dans la théorie des équations de la Physique. Bulletin de l'Ac. do 

 Cracovie, Février 1901. On pourra aussi consulter Ivorn : lieber die Ditferontialglei- 

 cliung A U-\-k'i^ Il = f uud die harmonischen Fiincticuen Poincarés. lîerliu 1902. 



