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als Integrationswege die Linien benutzen, welciie in demselben sin- 

 gulären Punkte beginnen und endigen und dabei noch einen oder 

 mehrere singulare Punkte umspannen, oder endlich die Linien, wel- 

 che zwei singulare Punkte verbinden. 



Auf solchen Wegen ist immer die Difierenz der Integrale: 



und die Relationen 16). 17) liefern die gesuchten Bilinearrelatio- 

 nen zwischen den Periodicitätsmoduln der Integrale I. und II. 

 Gattung. 



§ 5- 

 Reduc-tiuii der Integrale. 



Alle Differentialgleichungen, welche mit der gegebenen (1) 

 zur selben Art (im Fuchs'schen Sinne) gehören, bilden ein System 

 der Gleichungen, welches eine ähnliche Rolle spielt wie das Sy- 

 stem der algebraischen Gleichungen, welche zur selben Classe (im 

 Riemann'schen Sinne) gehören. Es ist also eine der wichtigsten Fra- 

 gen, die Reductionsformeln für die Integrale der Lösungen der zur 

 selben Art gehörenden Dift'erentialü'leichuuüen zu linden. 



Es ist bekannt, dass die Lösungen 1' der mit (1) zur .selben 

 Art gehöi'enden Differentialgleichungen sich durch 



ausdrücken, wo y die Lösung der Differentialgleichung (1) 



y' = -^ . und r„ (z), i\ (z) beliebige rationale Functionen von z be- 

 dz 



deuten. Das Integral 



lYdz^^ J' /•„ ^2) y dz + J i\ (z) y dz 



= '•, (z)y + \[ '0 (^) - '^-'^^ ) dz 



drückt sich also aus vermittelst einer rationalen Function von z.y 

 und eines Integrales der Gestalt 



^E(z)ydz. 



Wenn man nun die rationale Function K(zJ An Partialbrüche zer- 

 legt, erhält man rechts Integrale von der Gestalt: 



