81 



§ 6- 

 Genaue Feststellung der Anzahl der Integrale /. Gattung. 



Wir haben in § 5. gefunden, dass unter den Integralen 



y Y dz = J (r^ y -}- r, y') dz 



sicher (n — 2) Integrale erster Gattung existieren, die linear un- 

 abhängig sind. Es bleibt noch übrig zu beweisen, dass keine ande- 

 ren linear unabhängige Integrale I Gattung vorhanden sind')- 



Wir stellen zuerst mit H. Hirsch den Satz auf: 



Wenn 



^Ydz = ^ ['o (^) y + >\ (z) y'\ dz 

 überall endlich sein soll, so sind r^ (z). Vi (z) rationale 

 ganze Functionen von z. 



Wenn y eine Lösung der Differentialgleichung (1) ist, so ge- 

 nügt: 



Y(z)^r,(z)y+r,(z)y' (19) 



bekanntlich auch einer linearen homogenen Differentialgleichung 



B,y" + B,y' + B,y = (20) 



(welche der Fuchs'schen Classe angehört) und kann im allgemeinen 

 neben den singulären Punkten y = ej, Cgv-- ^«•'^ ^^^ noch polare 

 Unstetigkeiten besitzen (die von polaren Unstetigkeiten der Fun- 

 ctionen /•(,. t\ herrühren). Diese polaren Unstetigkeiten sind nun 

 hier wegen der Endlichkeit des Integrals j' Y(z)dz ausgeschlossen. 

 Darausfolgt: Die Differentialgleichung (20; kann 

 nur die Punkte: 



ßi, e.3,... «,., oo 



als singulare Punkte besitzen, und wenn ki'.k/'; k',k' die 

 zu (?i,oo gehörenden Exponenten der Functionen Y sind, so ist 



k/> — l,k/'>—l (i = l,2...n) 



k'^2. k"^2; 



ausserdem ist jedenfalls wegen (19) und wegen: 



'i Mit dieser Frage hat sich neulich auch H. Hirsch in 54 Bd. Math, be- 

 schäftigt. Da sich seine Kesultate für die sich selbst adj. Difterentialgleichangen 

 unmittelbar nicht anwenden lassen, erörtere ich die Frage noch einmal. 



