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„Cette fonction '|i, lorsqu'elle existe, n'est autre chose (à un 

 „facteur constant près) que la densité de l'électricité en équilibre sur 

 „la surface". 



J'ai tâché de me rendre compte de la nature de ces surfaces 

 et j'ai pu reconnaître que leur classe est malheureusement très 

 limitée. 



Elles peuvent être seulement des quadriques, 

 des cônes ou des cylindres. 



Les quadriques sont bien des surfaces (S). C'est ce qu'on 

 vérifie immédiatement, d'après votre remarque, en prenant pour ij/ 

 l'expression bien connue de la densité de l'électricité en équilibre 

 sur une surface du second ordre. 



Quant aux cônes et aux cylindres, ils ne sont pas des surfaces 

 (S), en général, mais seulement sous une certaine condition (même 

 très restrictive). Je n'ai pas poussé le calcul assez loin pour inter- 

 préter géométriquement cette condition. 



Voici comment je justifie mes assertions. 



Soient x,i/,2;x-'rAx,y-\-AyjZ-\-/^z les coordonnées de A 

 et de B; ^,X,Y,Z\ t|/ + A<J/, X+AX, F+AF, Z+AZ les va- 

 leurs de la fonction ij/ et des cosinus directeurs de la normale en 

 ^ et en J5. 



En désignant par S une somme de termes semblables en a;, 

 y, 0, nous avons 



cosa= SXAa;. 



AB 



cosß= i^S(X+AX)Aa;, 



AB 



et l'équation (1) peut s'écrire 



(10 ^^S(2X+AZ)Aa;-f-A(j/2XAa; = 0. 



Supposons que l'on ait tracé sur la surface une courbe quel- 

 conque joignant les points A ?X B. Soit s un paramètre quelconque 

 qui fixe la position des points sur la courbe; s étant justement la 

 valeur de ce paramètre au point £, sa valeur en A. 



En appliquant aux fonctions a;, A' et ij/ le développement de 

 Mac-Laurin, il vient 



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