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dx 1 d^x o 1 '^^^ 

 , ,. dX 1 d-'X , . 

 , , c^A 1 rf-iL „ 



Si nous introduisons ces développements dans (1'), les coeffi- 

 cients de s et de s- s'annulent, car on a bien 



et par suitç 



^^~ds-^' 



^dXdx ^ d-x 



. ds ds ds'^ 



(2) 



En exprimant que le coefficient de s^ doit aussi s'annuler 

 on trouve 



I , ^ d-^x , ^dXd'-x , ^. d'Xdx\ , d^x 



'^V^^ls^+'^^^ds^ + '^^^dsi + ^'^^^^ds^-^^ 



d'où, en remplaçant 'LX-^ par sa valeur, tirée de (2), à savoir 



-SS 



dXd^x ^; d^Xdx 



ds ds^ 



ds^ ds 



nous avons 



^fdXd^x d^Xdx\ dlog'\^ yd^x 



"^ ds ds^ ds' ds ) ds ds'^ 



(3) 



Cette relation doit être satisfaite en tout point et pour toute 

 courbe d'une surface (<S). 



Supposons en particulier que la courbe soit une asymptotique. 

 On aura, d'après la définition de ces courbes, 



ou bien, à cause de (2), 



dXdx _ 



ds ds ' 



SX— = 

 ds^ 



(4) 



(4') 



