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Le second membre de (H) s'annule donc pour toute asymptotique. 

 D'ailleurs on a encore pour ces courbes 



^^ d^X dx ^, dX d^x _ 



"* ds'- ds " ds ds- ' 



l'égalité (3) se réduit pnr suite à 



^-,dX d'^x 



(5) 



ds ds- 



.0 . 



Supposons d'abord que la surface (réelle) envisagée ne soit 

 ni développable, ni sphérique. 



Il n'est pas possible dans ce cas que les deux formes quadra- 

 tiques binaires, relatives à notre surface, ^ dx' . "^L dX dx, aient des 

 facteurs communs ^). Les asymptotiques ne sont donc pas (même 

 lorsqu'elles sont imaginaires) des lignes de longueur nulle. 



D'après cela, il est loisible, pour une asymptotique quelconque 

 (qu'elle soit réelle ou imaginaire), de supposer le paramètre s choisi 

 de sorte que l'on ait 



et par suite 



^, dx d-x 



"^ ds ds- 



:0 . 



On a alors à la fois, d'après (4') et (5), 



(6) 



. , dx d'^x - 



„ dXd-x 



ds ds- 



En tenant compte de ce que 



') En effet, les deux formes étant réelles et la première ayant ses deux 

 facteurs imaginaires conjugués, la seconde devrait les admettre tous deux. Elle 

 serait alors proportionnelle à la première, ce qui arrive seulement pour le plan et 

 pour la sphère. Voyez par exemple Blanchi: „Lezioni di Geometria differenziale", 

 Chap. IV, pag 32. 



