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d.i 



-^•='--(.:)'='^ 



^ c?X_ ^dXdx_ y,dx 

 a.s as a.s ds 



on trouve immédiatement que le carré du déterminant des coeffi- 

 cients du sj^stème (6) a pour valeur 



I,dX'- 



ds'' ' 



expression qui ne s'annule ni en général, ni pour les asymptoti- 

 ques. En eftet, comme il ne s'agit pas d'une surface dcveloppable. 

 Sf/A'- est une forme définie et elle ne peut pas avoir de facteurs 

 communs avec '^dXdx^). à moins que la surface ne fût une sphère, 

 ce que nous avons également exclu. 



Les équations (6) exigent par conséquent que l'on ait. pour 

 toute Msymptoticjue de la surface, 



^ = -^ = — = 

 ds-^ ' ds-' ' ds-' 



Les asymptotiques sont donc des droites. Mais, la surface n'étant 

 pas développable. elle contient un double système d'asymptotiques. 

 Donc elle est doublement réglée, c'est-à-dire une quadrique. 



La sphère étant elle-même une quadrique. il n'y a pas, en 

 dehors des quadriques, de surfaces (S) non développables. 



Venons maintenant au cas où l'on aurait affaire à une surface 

 {S) développable. 



Permettez que je commence par établir quelques formules, 

 auxquelles il me faudra avoir recours dans un moment. 



Je rappelle d'abord que, pour toute surface réglée, les coor- 

 données ./;, //, z peuvent être définies en fonction de deux para- 

 mètres H. V par les trois équations 



') C'est ce qui résulte de l'ideutitë 



i; dX' = A' i; tix-' + nz dx dx , 



où K et // désignent respectivement iii coiirliure totale et la courbure irioyenne 

 de la surface (Bianehi. loco citato, pa?. 116). En effet tout facteur ci>mumn aux 

 deux formes "ZdX- . ZdXdx appartiendrait aussi (dès que A'^0) à la foriiie Zdx-, 

 tandis qui-, comme on vient de rfnianjnur. Zdx', ZdXdx n'ont pns de facti'urs 

 communs. 



