268 



(7) 



X = CfLi il -\- rt( , 

 i/ = ßl « + ^1 ■• 



où ai,ai,....Ci désignent des fonctions de la seule variable v. 



La surface étant réelle, il est encore loisible (par un choix 

 convenable des paramètres u et v) de supposer 



(8) 2ai2=7,i:fl'i'^ = i,i;a,fl'i = 0. 



Le signe — représente toujours une somme de termes sem- 

 blables: en a,ß,Y; a./),c; ou, comme tout à l'heure, en x,i/,s] 

 X, Y, Z. Les accents dénotent des dérivations par rapport à v. 



Il est bien clair cpie les génératrices rectilignes de la surface 

 (7) correspondent aux lignes v = const. 



Les cosinus directeurs A', Y, Z de la normale sont définis 

 par les équations 



S X- = 1,1. A'ai = Ü , S Z (y.\ u + a\) = 0. 



Dire qu'une surface est développable, c'est dire que le plan 

 tangent reste le même tout le long d'une même génératrice, ou, si 

 l'on veut, que A, Y, Z ne dépendent pas de «. Il faut pour cela 

 (et il suffit) que, en entendant désormais par A, Y, Z des fonc- 

 tions de V seulement, on ait à la fois 



(9) SAä = i, ÏAa, =0, SA«',=0; 



(10) ÏAa', =0. 

 Posons pour plus de symétrie 



''•2 5 ^ 1 ^ A> 5 f^ 1 ^ T2 ■> 



Les équations (8) et (9) expriment simplement que 



(^^^ ^ A = a., r=(i., Z = 



'^1 , ^2 , h ; 



ïl 5 T2 5 TS 



sont les cosinus directeurs d'un trièdre trirectangle. Leurs dérivées 

 par rapport à v pourront donc s'exprimer toutes au moyen de trois 

 fonctions auxiliaires p, q, r, par les formules classiques de Poisson. 

 L'équation (10) n'est autre chose que f^^=0. On a delà sorte 

 (12) a\=y.,r, a'j=a3p — a, r, <, = — y..,/j 



avec les autres semblables en ß et y. 



