269 



Ceci posé, la différentiation des (7) nous donne 



dx = «1 du -\- 7-2 (/■ « + l)dv, etc. ; 



d^x^^ 2a.^v du + { (xg p — a.j /•) (t ■u-\- l)-{- a_, /•' « } ö? v c? « , etc. 



On trouve de même, d'après les conventions (11), 



dX = — 7-2 pdv, etc. ; 



d'''X= — ( {7.3P — 7-1 r)p + 7.2J0' } c?t;2 , etc. 



d'où, à cause des l'elations d'orthogon alité, 



'^ X d'^x = p {)■ u -\- l)dv^, 



'^dXd^x^ — {2p rdu -\- pr' udv}dv^, 



Ïld'-Xdx= [prdu +p'{ru+ l)dv)dv^. 



A})rès ces remarques préliminaires, nous allons reprendre l'équation 

 (3). Comme elle doit être véi-ifiée pour toute ligne de la surface, elle 

 équivaut à 



i:{dXd^x — d^Xdx)=3dIoff<i^I.Xd^x. 



Les formules qu'on vient d'écrire montrent que, pour les surfaces 

 développables, cette condition se réduit à 



dlogij^ -—zdu — -^ | + ^\dv {\^\ 



^^ ru + 1 ^\ru + lp\ ^^^'' 



= — l dlogp(ru+l)— j . . du. 



t ti ~\~ Ji 



Elle exige que le second membre soit une différentielle exacte 

 et par suite que r soit une constante. 



Il est aisé d'en apercevoir la signification géométrique. 



En effet, ou bien r^O. 



La première des (12) avec ses analogues exprime alors que 



^- i — i^ 1 — M — '-'5 



c'est-à-dire, d'après (7), que les génératrices rectilignes de notre sur- 

 face sont toutes parallèles. 



La surface est alors un cylindre. 



Ou bien ;• ^ . 



La comparaison des relations 



-/'j ^ 7., /• , (i'i = % r , y'i ;= y, r 



