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plan et cela dans des conditions assez particulières: il démontre 

 que la méthode de la moyenne arithmétique de M. C. Neu mann 

 est applicable k toute courbe plane qui peut être regardée comme 

 la figure inverse d'une courbe plane convexe, ainsi qu'à toute fron- 

 tière formée de deux cercles situés dans un même plan et ne se 

 coupant pas. 



Ajoutons que M. E. R. Neu mann ne s'occupe pas de la 

 méthode de Robin. 



On voit que les résultats définitifs de M. E. R. Neu mann 

 (int une généralité bien moins grande que ceux qui ont été obtenus 

 par les géomètres qui ont suivi la voie ouverte par M. P o i n c a r é i). 

 Mais M. E. R. Neu mann établit, pour arriver aux résultats défi- 

 nitifs énoncés plus haut, des propositions intéressantes en elles- 

 mêmes et, de plus, il parvient à éclairer d'un jour nouveau certains 

 côtés de la question. En particulier, il met en évidence la forme 

 nouvelle que doit prendre la méthode de C. N e u m a n n dans le 

 cas d'une frontière se composant de plusieurs parties entièrement 

 séparées, si tant est que la méthode soit applicable dans ces cas-là. 

 C'est précisément l'étude que fait M. E. R. Neumann d'une fron- 

 tière composée de plusieurs portions entièrement séparées, qui nous 

 a suggéré l'idée de publier le présent travail. 



La théorie générale que nous avons établie dans nos travaux 

 antérieurs 2) sur les méthodes de C. Neu mann et de Robin est 

 applicable quel que soit le nombre de parties dont se compose la 

 frontière; mais nous ne l'avons développée d'une fliçon complète 

 que dans des circonstances qui impliquent que la frontière est d'un 

 .seul tenant, bien que, dans l'espace, elle puisse être une surface 

 dont l'ordre de connexité est quelconque. Nous nous proposons main- 

 tenant d'étudier d'une façon détaillée le cas d'une frontière com- 

 ])osée d'un nombre quelconque de parties séparées les unes des 

 autres. La méthode que nous allons suivre est aussi bien applicable 



') Poincaré. La Méthode de Neumann et le Problème de Uirichlet. 

 Acta mathematica 189ß. 



') Zaremba. Sur la théorie de l'équation de Laplace et les méthodes de 

 Neumann et de Robin. Balle tin in ternational d e l'Académie de Cra- 

 covie, 4 Mars 1901. Zaremba. Sur l'intégration de l'équation aux dérivées par- 

 tielles \u + '^u = 0. C. K, de l'Ac. de Paris, 24 Juin 1901. Zaremba. Sur 

 l'intégration de l'équation A« + Cm = 0, Journal de Mathématiques pures 

 et appliquées 1902. 



