459 



au plan qu'à l'espace mais, comme dans nos précédents travaux, 

 c'est pour l'espace que nous allons développer la théorie. 



Nr. 2. Il est nécessaire de préciser certaines notions qui joue- 

 ront un rôle fondamental dans les considérations qui vont suivre. 

 Considérons un système de n surfaces fermées 



{S,\ (S,), . . . (S„i (1) 



entièrement séparées les unes des autres. Elles partagent évidem- 

 ment tout l'espace en n -\~ 1 régions. Comme aucune des surfaces (1) 

 n'a de points situés à l'infini, il n'y aura, parmi les régions précé- 

 dentes, qu'une région unique (Äq) s'étendant à l'infini. Nous l'appel- 

 lerons „la région infinie". Cela posé, nous diviserons les n régions 

 qui restent en plusieurs catégories de la manière suivante: toute 

 région contigue à la région [Rf,) sera dite de première catégorie, 

 toute région auti'e que {Bq) mais contigue à une région de première 

 catégorie, sera dite de seconde catégorie; enfin d'une façon géné- 

 rale, toute région contigue à une région de catégorie k sans être 

 elle-même une région de catégorie k — 1, sera dite de catégorie 

 k-\- 1. Cela posé, nous conviendrons de dire que les surfaces fer- 

 mées (1) sont des nappes différentes d'une même surface fermée, 

 non connexe, {S). Nous dirons en outre que l'ensemble des régions 

 de catégories impaires constitue le domaine intérieur {D) de la sur- 

 face {S) et que l'ensemble de toutes les autres régions, y compris 

 la région infinie {Rt,\ constitue le domaine extérieur {D'). D'après 

 cela, la surface (S) sera la frontière commune des domaines (Z>) 

 et {D'). 



Nous nous servirons dans ce mémoire de certains termes et 

 de certaines notations dont nous avons déjà fait usage dans d'autres 

 travaux sur les équations de la Physique; on trouvera les défini- 

 tions de tous ces termes et de toutes ces notations dans l'Intro- 

 duction à notre mémoire „Sur l'intégration de l'équation Am-[-^m = 0" 

 (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1902). C'est à ce 

 mémoire aussi que l'on voudra bien se reporter pour l'énoncé des 

 hypothèses que nous adoptons au sujet de la surface (S). 



II. Problème et méthode de Robin. 



Nr. 3. Soit 'p une fonction continue quelconque définie sur la 

 surface (S), \ un paramètre variable et u un potentiel de simple 

 couche vérifiant l'équation: 



