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du \ ( dH\ , \ f du\ , f du \ 



(2) 



/ du \ ( dii\ _, \ f du\ . f du \ I I „ 

 V dWe ~ V d^^)^ ~Uy mJe-^ l dWi I + ^^- 



Nous dirons que le problème qui consiste ;i déterminer le potentiel 

 de simple couche m en fonction du paramètre "k, est le problème 

 de Robin. 



Lorsque le nombre caractéristique ') du potentiel u est un 

 nombre réel et non négatif, on a le théorème suivant: 



1. L'équation (2) admet toujours, par rapport à l'inconnue u, 

 une solution qui, considérée comme fonction du paramètre X est 

 une fonction analytique n'ayant, à distance finie, d'autres points sin- 

 guliers que des pôles simples, faisant partie d'une suite à termes réels 



(3) \. Xj, ^3, . . . 

 où 



(4) I >* I < I ^. + , 1 . {k^l, 2, 3...) 



suite indépendante de la fonction 9 et parfaitement déterminée par 

 la surface (S) et le nombre caractéristique du potentiel u. (Nous 

 ne considérerons dans la suite que cette solution là de l'équation (2)). 



2. On peut faire correspondre à chaque terme X^ de la suite 

 (3) un nombre fini de potentiels de simples couches linéairement 

 indépendants 



(5) ui% m% ... uy, 



jouissant des propriétés suivantes: 

 a) On a 



/<^t7i-N (dU-os _ i(dU^-s (dm''>^ \ 

 '^'"^y^dWJc-y^N'Ji-^'-iy'dNJe^y^N'Ji] (f'-l'^'^^'-'-h) 



h) Si le nombre \ est un pôle de la fonction u, le résidu 

 correspondant est une combinaison linéaire et homogène à coeffi- 

 cients constants des fonctions (5). 



Les fonctions (5) s'appellent „fonctions fondamentales" de M. 

 Poincaré. 



3) On ne peut avoir 



(7) \\\ = 1 



') Voir l'Introduction au mémoire „Sur l'intëpration de l'équation A« + $w = 0'' 

 Journal do Mathématiques pures et appliquées, 1902. 



