461 



que dans le cas où le nombre caractéristique du potentiel u se réduit 

 à zéro, cas où u devient un potentiel newtonien; lorsqu'au contraire 

 le nombre caractéristique du potentiel » est un nombre positif non 

 nul. on a nécessaii'ement 



\\\> 1 . (8) 



Nous avons établi ce théorème d'abord pour les potentiels 

 newtoniens 1) et nous l'avons étendu ensuite au cas où le potentiel 

 M est un potentiel généralisé ^) ayant un nombre positif quelconque 

 pour nombre caractéristique. Nos démonstrations des propositions 

 précédentes subsistent sans aucun changement, quand on passe du 

 cas où la frontière se compose d'une seule nappe fermée, au cas 

 général que nous nous proposons d'approfondir dans le présent 

 travail. Nous pourrons prendre par conséquent pour buse des con- 

 sidérations ultérieures, les propositions que nous venons de rap- 

 peler, sans revenir sur leurs démonstrations. J'ajoute que nous n'en- 

 visagerons dans la suite que le cas des jiotentiels newtoniens et 

 cela parce que ce n'est que dans ce cas là qu'une surface com- 

 posée de plusieurs nappes nécessite une étude spéciale. En effet, 

 on sait qu'il importe tout particulièrement d'avoir la solution du 

 problème de Robin pour a = -|- i et pour > = — i; or ce n'est 

 que dans le cas des potentiels newtoniens que ces valeurs du pa- 

 ramètre A peuvent être des valeurs singulières et, par conséquent, 

 c'est seulement lorsque le potentiel demandé « est un potentiel new- 

 tonien qu'il y a lieu d'examiner de plus près le cas où la frontière 

 se compose de plusieurs nappes. 



Nr. 4. Abordons de suite le cas général où le domaine exté- 

 rieur (i>') se compose de p -j- 1 régions, soit 



(Äo), (Äi), • • • iH,) 

 et le domaine intérieur (Z)) de q régions soit 



') Zaremba. Sur la théorie de l'équation de Laplace et sur les mé- 

 thodes de Neumann et de Kobin. Bulletin international de l'Acadé- 

 mie de Cracovie, 4 Mars 1901. 



') Zaremba. Sur l'intégration de l'équation A« + ■^w = 0. C. K. de l'A c. 

 de Paris 24 Juin 1901 et Journal de Mathéniati((ufts pures et appli- 

 quées 1902. 



