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On aura 



(9) F + 'i = « 



en désignant par n, comme plus liaut, le nombre de nappes de la 

 surface (S). 



D'après le théorème fondamental rappelé au numéro précédent. 

 la fonction u du paramètre \ ne peut posséder, en dehors des pôles 

 simples — 1 et -j- ^i que des points singuliers situés, dans le plan 

 de la variable complexe >,, à l'extérieur du cercle de rayon 1 ayant 

 l'origine des coordonnées pour centre. Soit U^ le résidu relatif au 

 pôle — i et U., le résidu relatif au pôle -|- 1. Nous aurons: 



;io) « = rri+-ii + I<^ 



où la série 



(U) u'=Yu\'k'' = %CK) 



aura un rayon de convergence supérieur à l'unité. 



Nous avons, en vertu du théorème fondamental du numéro 

 précédent: 



dN-'e 

 et 



'dm 



^''^ (§!=« 



(^^) m^^- 



L'équation (12) nous apprend que. dans chacune des p-\- 1 

 régions dont se compose le domaine extérieur {D'\ la fonction u, 

 conserve une valeur constante. Dans la région infinie (i?o)i la fonc- 

 tion f/j est nécessairement nulle puisqu'elle est nulle à l'infini. 

 Soient 



(14) Cj, C.J, ... c„ 



les valeurs constantes de la fonction U-^ dans les régions (i?i), 



Considérons maintenant la fonction U^- Il résulte de l'équa- 

 tion (13) qu'elle se réduit à une constante à l'intérieur de chacune 

 des q régions {R^ + ^), (Ä^ + s); • • • {R,, + ^ dont se compose le domaine 

 intérieur {D). Désignons par 



