463 



les valeurs constantes de la fonction U2 clans les régions (E^,^,), 

 (R„^2). . . . {E,,^- 5) respectivement. 



Le théorème fondamental (Nr. 3) qui sert de base à ce travail 

 nous apprend qu'il est possible de faire correspondre au nombre 

 >■! = — 1 un système de fonctions linéairement indépendantes, 



W, Ui% . . . [//''^ (16) 



jouissant de la propriété suivante: quelle que soit la fonction cp, 

 on pourra toujours mettre la fonction Ui sous forme d'une com- 

 binaison linéaire et homogène à coefficients constants des fonctions 

 précédentes. Ajoutons que chacune des fonctions (16) sera un po- 

 tentiel de simple couche portée par la surface (S), que chacune de 

 ces fonctions s'annulera dans toute l'étendue de la région infinie 

 (Bq) et enfin que chacune de ces fonctions se réduira à une cons- 

 tante dans chacune des régions (i?j), . . . (i?j,). Désignons par 



c/'^. C2% . . . c/'-' (17) 



les valeurs constantes de la fonction ü/'^ à l'intérieur des régions 

 {Ri), {Ri), ■ ■ ■ {Rp) respectivement. Nous verrons plus tard que le 

 nombre des fonctions (16) est précisément égal à p. mais dès main- 

 tenant, nous allons nous assurer que le nombre en question. J^, ne 

 peut être supérieur à jj. A cet effet, considérons l'expression 



l 



r^ V^> (18) 



où les y'"' sont des facteurs constants. L'expression précédente re- 

 présente un potentiel de simple couche portée par la surface {S). 

 Ce potentiel est nul identiquement dans toute l'étendue de la région 

 infinie {R^ et, à l'intérieur des régions (ÄJ, . . . {R^ respectivement, 

 il prend les valeurs constantes 



1 



r c^" {k = l,2.3,...p) (19) 



Si l'on avait j^ > p, on pourrait trouver pour f^'\ /^% . . . f'J'^, 

 un système de valeurs non toutes nulles mais tel que chacune des 

 expressions (19) se réduise à zéro. Mais alors l'expression (18) re- 

 présenterait un potentiel de simple couche se réduisant à zéro dans 

 chacune des régions: 



