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(i?„). (i?0. . . . (R,) 



et prenant par conséquent la valeur zéro en chaque point de chaque 

 nappe de la surface (S). L'expression (18) serait donc nulle iden- 

 tiquement et les fonctions (16) ne seraient pas linéairement indé- 

 pendantes. Cela prouve bien que le nombre de ces fonctions ne 

 peut jamais dépasser le nombre p. 



Le pôle >, ^ -]- i de la fonction u et le résidu correspondant 

 f/j donnent lieu à des considérations tout à fait analogues à celles 

 que nous venons de développer au sujet du pôle Aj = — 1 et du 

 résidu correspondant f^,. Voici quels sont les résultats que l'on ob- 

 tient: il est possible de constituer pour le nombre ^^ -\- 1 un 

 système de jo potentiels de simples couches linéairement indépen- 

 dants, soit 



(20) W\ LV'\... U,o--^\ 



tels que la fonction f/^ puisse, de quelque façon que l'on ait choisi 

 la fonction <p, être mise sous forme d'une combinaison linéaire et 

 homogène à coefficients constants des fonctions précédentes; le po- 

 tentiel f/j'''^ prendra à l'intérieur des régions (ß^ . ,]. (B,, + o), . . . {Bp , ,) 

 formant le domaine intérieur (i>) des valeurs constantes, soit 



(21) '^r + ii ^p + s; ••• ^p + q'i 



enfin le nombre jo des fonctions (20) ne pourra jamais être supé- 

 rieur au nombre q des régions dont se compose le domaine {£>). 

 J'ajoute qu'en réalité on a précisément ^ ^= 1- C'est ce que nous 

 allons démontrer, conjointement avec la proposition analogue énon- 

 cée plus haut au sujet du nombre des fonctions (16). Mais préala- 

 blement il est nécessaire de mettre en évidence certains autres faits 

 analytiques. 



Nr. 5. Rappelons d'abord certains résultats que nous avons 

 déjà établis dans les travaux cités plus haut, résultats que nous 

 avons démontrés par une méthode qui n'implique aucune restriction 

 en ce qui concerne le nombre de nappes dont pourrait se compo.ser 

 la surface (S): La fonction u, premier membre de l'équation (10), 

 est développable en une série procédant suivant les puissances en- 

 tières et positives de 1, soit 



(22) u = Y 





