469 



Af= (k = 0, 1, 2, 3, . . .) 



comme il s'agissait de le démontrer. 



Pour aller plus loin, il est nécessaire d'effectuer un certain 

 classement des nappes composant la surface {8): considérons une 

 nappe quelconque (S^) de cette surface; elle pourra contenir à son 

 intérieur une ou plusieurs autres nappes de notre surface. Soit (5«,) 

 une des nappes de la surface (S) située à l'intérieur de la nappe 

 {S^). mais non enveloppée elle-même par une autre nappe située 

 aussi à l'intérieur de la nappe {SS). Il pourra y avoir à l'intérieur 

 de (y^j,,) une nouvelle nappe {S^^ de la surface (S) située par rap- 

 port à {S^^ comme {8^^ est située par rapport à [8^). Soit en gé- 

 néral (/S„j) une nappe de la surface (S) située par rapport à la 

 nappe (Sj,,_,) comme (Sy^) est située par rapport à (S„). Cela posé, 

 on pourra former avec des nappes de la surface (S) la suite que 

 voici: 



(6'^), (S^,), (S.,,),...{Sy,), (33) 



laquelle, parcourue de gauche à droite, jouira des propriétés sui- 

 vantes: le dernier terme (S«,) n'enveloppera aucune nappe de la 

 surface (S) et chaque autre terme enveloppera le terme suivant 

 sans être séparé de lui par quelque nappe de la surface (S). Il peut 

 arriver, cela est évident, qu'en partant d'une nappe donnée (S„) l'on 

 puisse former plusieurs suites telles que la suite (33). Supposons 

 que parmi ces suites, s'il y en a plus d'une, la suite (33) soit celle 

 qui contient le plus de termes. Le nombre de ces termes étant ^' -\- 1, 

 nous dirons que la nappe [S^) est de la catégorie l-\-l. Si la nappe 

 (S'y) ne contient aucune autre nappe de la surface (&') à son inté- 

 rieur, elle sera dite de première catégorie. 



Cela posé, le lemme III peut être énoncé ainsi: Lorsque la 

 nappe (Sa) est de première catégorie et lorsque le rayon de con- 

 vergence de la série (22) est supérieur à l'unité, on a: 



(ß) 

 A,=0 (k = 0, 1, 2,3,.. .) 



D'autre part, en raisonnant comme nous l'avons fait pour dé- 

 duire du Lemme I. le Lemme III, on établira, au moyen du Lerame 

 II, la proposition suivante: Lorsque le rayon de convergence de la 

 série (22) est supérieur à l'unité et lorsque les égalités 



Ji«^ =0 {k=:0,l,2,3,...) 



