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sont vérifiées toutes les fois que la nappe (Sg) est de catégorie in- 

 férieure à un certain nombre g, les égalités précédentes seront en- 

 core vérifiées lorsque la nappe (jSg) sera de la catégorie g. 



Voici ce qui résulte des deux propositions énoncées en dernier 

 lieu: Lorsque le rayon de convergence de la série {22) est supé- 

 rieur à l'unité, on a 



or c'est précisément la proposition que nous voulions établir. 

 Remarquons parmi les égalités (34 a) les égalités: 



A (>) — J (v — — j ''0 — n 



Aq ^Q ... J-to "j 



égalités qui joueront plus tard un rôle important; elles peuvent 

 s'écrire ainsi: 



(34) { f' c?s = it^l.2,3,... m) 



(S.) 

 en désignant par f"-' la valeur de la fonction «p au point de la nappe 

 (S,) auquel se rapporte l'élément de surface ds . 



Nr. 6. Prouvons maintenant que le nombre exact des fonctions 

 (16) est p et que celui des fonctions (20) est q. A cet effet, portons 

 la valeur (10) de la fonction m dans l'équation (2). Il viendra: 



i£)e- iM)i = ^ I (S^)e+ (S)i 1 + ^^ + 



~^\dNh^\dNJe' m 



Cette équation montre que l'on passe de la fonction u h la ■ 



fonction u' en remplaçant la fonction 'i par la fonction : 9 -j- ï ( -tt7 j • -|- 



"^ ' V dNJe ■ 



D'ailleurs nous savons que le rayon de convergence de la série 

 (11) est supérieur à l'unité; par conséquent, nous pouvons appliquer 

 à la fonction 



le théorème établi au numéro précédent, théorème d'après lequel les 



