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tion demandée 4> possède les dérivées ( -,-rr ) et ( -,-,>)• et ou 

 ' ^dN'e ^dNH ^ 



dérivées sont des fonctions continues du pied de la normale à la- 

 quelle elles se rapportent. 



Tout naturellement (jn est conduit à se demander s'il ne serait 

 pas possible de choisir dans la formule (49) les constantes 6], Cj. . . . 

 C',^., de façon que la fonction '\> représente la solution du problème. 

 Pour que la chose soit possible, il est nécessaire et suffisant qu'un 

 certain déterminant soit différent de zéro. Or, sans qu'il soit né- 

 cessaire d'écrire ce déterminant, on aperçoit aisément ceci: si le 

 déterminant en question était nul, il serait possible de trouver pour 

 les constantes Ci, Cj. . . . C^, un système de valeurs non toutes nulles 

 et tel cependant que la fonction <4^ s'annule sur chacune des nappes 

 de la surface {S). Mais alors la fonction tp, puisqu'elle s'annule aussi 

 à l'infini, serait nulle identiquement dans tout l'espace. Par con- 

 séquent les p -\- q fonctions (40) ne seraient pas linéairement indé- 

 pendantes, ce qui, nous le savons, n'a pas lieu. Donc le déterminant 

 qui nous occupe est différent de zéro et la formule (49) est propre 

 à fournir la solution du prol)lème. C'est précisément ce que nous 

 voulions établir. 



Ajoutons que noti'e solution met bien en évidence, comme 

 nous l'avions annoncé, l'existence et la continuité des dérivées 



( ^^^) et ( ,^r]- de la fonction demandée "t»: en effet, cette fonction 



se présente sous forme d'un potentiel de simple couche. 



Nr. 10. Proposons-nous maintenant de déterminer une fonction 

 4* vérifiant l'équation de L api ace dans le domaine (Z*) ou dans le 



domaine (X*') étant donné la d(''rivée (■ .T.l.dans le premier cas 



\dN'i 



( d'-^ \ 

 et la dérivée , ,^ dans le second, la fonction '\> devant, en outre, 



dans le second cas, s'annuler à l'infini. En réalité, nous avons à con- 

 sidérer deux problèmes dont l'un concerne le domaine intérieur (D) 

 et l'autre le domaine extérieur (/>'). . Nous dirons pour abréger, que 

 le premier problème est le problème intérieur et que le second est 

 le problème extérieur. 



Désignons, comme au Nr. 4, par (/?o); i.^^\\ ■ ■ ■ (-^p) ^^^ P ~\~ ^ 

 régions dont se compose le domaine {D') et par (Rp+t)- (-^p+s)» • • • 

 (jB,>4-,) les q régions dont l'ensemble forme le domaine {D). Il va 



