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sans dire que le symbole (Ä„) continuera à représenter la région 

 infinie, c'est à dire celle qui s'étend à l'infini. 



Pour que l'un au moins des problèmes précédents soit possible, 

 il est nécessaire que la fonction © représentant les valeurs de la 

 dérivée normale de la fonction demandée, vérifie certaines condi- 

 tions. Pour nous en rendre compte, envisageons successivement les 

 deux problèmes en commençant par le problème intérieur. Consi- 

 dérons l'intégrale 



US). 



'Is 



étendue, non pas à toute la surface {S), mais seulement à toute 

 la frontière d'une des régions entrant dans la composition du do- 

 maine {D). La théorie classique nous apprend que l'intégrale pré- 

 cédente est nécessairement nulle. Par conséquent, si l'on désigne 

 par fjTj la valeur de l'intégrale 



\ cp ds 



étendue à toute la frontière de la région (Ji,). on devra avoir, pour 

 que la fonction 'I' existe: 



9,+> = 9ri-^ = 9p+s = . . ■ = (7,+. = . (50) 



Passons au problème extérieur. La région infinie (//q) ne don- 

 nera aucune condition de possibilité, mais il n'en sera pas de même 

 des régions (i2j), {R.,)-, ■ ■ . (R^\ en effet l'intégrale 



Si 



SV'^' 



étendue à toute la frontière de l'une quelconque des régions pré- 

 cédentes, aura zéro pour valeur. Par conséquent, pour que le pro- 

 blème soit j)ossible, il faut que l'on ait 



gy=92=--=g,='^- (51) 



le symbole g^ ayant la même signification que plus haut. 



Lenime I. Les équations (50) constituent les conditions né- 

 cessaires et suffisantes pour que la fonction u définie par l'équa- 

 tion (2) n'ait pas le nombre -\- 1 pour pôle. 



Désignons par (ü,.) la frontière totale de la. régi<jn {R^. Cette 

 frontière (—j) pourra se réduire à une des nappes de la surface (iS^) 



