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mais, en général, elle se composera de plusieurs nappes de cette 

 surface. Nous aurons dans tous les cas 



Cela posé, reprenons les équations (36). En les combinant 

 convenablement jmr voie d'addition et en remarquant que l'on a 



S 



■^).ds = 0, (k = p + Lpi-2,...,p + q) 



on trouve: 



(52) g,= -'^[^^)^ds a- = p + l.p^2....p+q). 



Portons dans ces équations la valeur (38) de Uo et rappelons-nous 

 que ii=^p et que j., = q. Les équations (52) pourront être regar- 

 dées comme formant un système 'de q 'équations linéaires aux q 

 inconnues /j^j, /^j, • • -//h-, • Le déterminant de [ces équations ne 

 sera pas nul, car s'il l'était, les q nombres: 



(53) g^, . g,^, , ... g,^, 



vérifieraient, de quelque façon que l'on choisisse ©, une certaine 

 relation parfaitement déterminée, linéaire et homogène à coefficients 

 non tous nuls. Or cela est impossible. En effet, parmi les g surfaces: 



{-•p+tl ■ (^M-s) ) • • ■ (-;<+«) ) 



il n'en existe pas deux ayant un point commun et cela parce que, 

 en vertu de la définition des régions (lî,^,), (R^a), • • • (-^h-?)? ^^ °'®^ 

 existe pas deux qui soient contigues. On pourra par conséquent, en 

 choisissant convenablement la fonction cp, faire acquérir aux nom- 

 bres (53) les valeurs que l'on voudra. Donc il ne peut y avoir 

 aucune relation nécessaire entre ces nombres et par suite, le déter- 

 minant des équations (52), considérées comme un système de q 

 équations aux q inconnues fp+,, fp+s, ■ ■ ■ fp+qi sera, comme nous 

 l'avons annoncé, différent de zéro. Ce détei'minant étant différent 

 de zéro, la condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait 



/h-' — ./p+2 — Ji^« — • • ■ — .A+s — " 



