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c'est à dire pour que le nombre -\- 1 ne soit pas un pôle de la 

 fonction u, sera constituée par l'ensemble des équations (50). C'est 

 précisément ce en quoi consiste le lemme que nous voulions établir. 



Lemme II. Les équations (51) constituent les conditions né- 

 cessaires et suffisantes pour que la fonction u définie par l'équation 

 (2) n'admette pas le nombre — 1 pour pôle. 



La démonstration de ce lemme est tout à fait analogue à celle 

 du lemme précédent; nous croyons donc pouvoir nous dispenser de 

 la développer. 



Je fais maintenant les remarques suivantes: 



1. Lorsque la fonction m définie par l'équation (2) n'admet 

 pas le nombre -|- 1 pour pôle, le problème intérieur est possible, 

 puisque une solution de ce problème est fournie par la fonction 



— {«}!=+,• (54) 



2. Lorsque la fonction u n'admet pas le nombre — 1 pour 

 pôle, le problème extérieur est possible et une solution de ce pro- 

 blème est constituée par l'expression: 



! M >).=-/ ■ (55) 



Voici les conclusions fondamentales qui découlent des lemmes 

 et dès-remarques précédentes: 



1. Pour que le problème intérieur soit possible, il est néces- 

 saire et suffisant que les équations (50) soient vérifiées. 



2. Pour que le problème extérieur soit possible, il est néces- 

 saire et suffisant que les équations (51) soient vérifiées. 



J'ajoute que les résultats acquis permettent de résoudre efiec- 

 tivement les problèmes précédents quand ils sont possibles. En etfet, 

 on pourra toujours calculer les expressions (54) et (55), quand elles 

 ont un sens, au moyen de la formule (10) dont on sait calculer 

 tous les éléments. 



Observons en terminant que les solutions que nous venons 

 d'indiquer ne sont pas les solutions les plus générales des problèmes 

 considérés. ;\Iais, connaissant une solution particulière quelconque 

 de l'un de ces problèmes, il est aisé d'en obtenir la solution la plus 

 générale. En effet, soit d'abord 4> une solution particulière du pro- 

 blème intérieur. On établira au moyen de théorèmes classiques que 

 la solution la plus générale du problème est une fonction dont les 

 valeurs dans les régions (iî^/), (Äp+s), ■ • • (-ßp+j) respectivement seront 

 représentées par les formules 



