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a> + c^, , * + c,^, , . . . i|> + e,^ , 



les lettres Cp_j.,, Cp_(.2, . . . c^^ représentant des constantes arbitraires. 

 Soit maintenant <î> une solution particulière du problème ex- 

 térieur. Dans la région infinie (i?o)> ^^ solution la plus générale 

 coïncidera avec la fonction 4» mais dans les autres régions (Ai), 

 (JSg), . . . (i?p) du domaine (Z>'), elle sera représentée respectivement 

 par les formules: 



tl> + c, , *t> + P^ . ... * -f- c,, . 



les c,, Cj, . . . Cy étant des constantes arbitraires. 



Nr. 11. En terminant ce chapitre, nous voudrions dire quelques 

 mots des cas particuliers qui peuvent se présenter. Il peut arriver 

 que le domaine extérieur (/>') se réduise à la seule région {R^, 

 c'est précisément ce qui a lieu quand les diverses nappes de la 

 surface (S) sont elles-mêmes des surfaces fermées, extérieures les 

 unes aux autres. La théorie développée dans les numéros précé- 

 dents nous montre que, dans ce cas, le nombre — 1 n'est jamais 

 un pôle de la fonction u définie par l'équation (2). Donc, dans ce 

 cas là, le problème appelé par nous, au numéro précédent, „problème 

 extérieur" est toujours possible; ajoutons qu'il n'a, dans le cas con- 

 sidéré, qu'une seule solution. 



Lorsque les domaines (/>) et (/>') se réduisent chacun \\. une 

 région unique, la surface {S) ne se compose plus que d'une seule 

 nappe et nous retrouv(ms les résultats déjà établis dans d'autres 

 travaux. 



Nous venons de voir qu'il est possible de choisir la surface 

 {S) de façon que, quelle que soit la fonction ç. le nombre — 1 ne 

 puisse jamais être un pôle de la fonction u. Cela suggère immé- 

 diatement l'idée de se demander s'il n'existerait pas une surface 

 telle que le nombre -j- i ne puisse jamais être un pôle de la fonc- 

 tion u, de quelque façon que l'on choisisse la fonction (p. Un ins- 

 tant de réflexion suffira pour s'assurer qu'une telle surface ne peut 

 exister. 



II. Problème et méthode de Neumann. 



Nr. 12. Le problème de Neumann consiste à déterminer, en 

 fonction d'un paramètre variable \ un potentiel de double couche 

 V vérifiant l'équation: 



