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Nous concluons de là, en nous appuyant sur ce qui a été 

 établi au Nr. 10, que la fonction u définie par l'équation (57) n'aura, 

 considérée comme fonction du paramètre "K, que des pôles supérieurs 

 en valeur absolue à l'unité. 



Cela posé, voici ce qu'on reconnaît à la simple inspection de 

 la formule (58): la fonction v, considérée comme fonction du para- 

 mètre 1, est une fonction analytique qui, à distance finie, n'a d'autres 

 points singuliers que des pôles simples et réels, à savoir: tous ceux de 

 la fonction u et peut-être les pôles — 1 et -\-l. Aura-t-elle réellement 

 ces deux pôles? Nous allons voir qu'il en est bien ainsi en général. 

 Désignons par u ( — 1) et u {-\- 1) les valeurs de u pour 1 = — 1 

 et pour 'X = -|- J et cberchons les relations qui existent entre les 

 fonctions u ( — 1\ u (-|- 1 ) et Vq. L'équation (5*7) nous donne: 



rdii{ — 1)\ dVf) 



V W^Je^dN' 



Il en résulte que la diiférence: 



(59) »0 — M(— i) 



. se réduit à une constante dans chacune des p -\- 1 régions qui com- 

 posent le domaine extérieur (!>'). Dans la région infinie (üfj) la va- 

 leur constante de l'expression (59) est nulle, puisque, à l'infini, 

 chacune des fonctions u et V(, se réduit à zéro. Soient 



les valeurs constantes de cette expression dans les régions {Bi), 

 (iig), (Äs), . . . (Äp) respectivement. Faisons maintenant >. = -j- i dans 

 l'équation (57). Il viendra: 



^du{-\-l)\ ^_dvc 

 \ dN Ji dN' 



Cela prouve que la somme 



(61) ^^+u(+l) 



se réduit à une constante dans chacune des q régions qui com- 

 posent le domaine extérieur (D). Désignons par 



(62) Cj^i , c^s , . . . c^^^ 



les valeurs constantes de la somme (61) dans les régions (Bj^,), 

 (•^H-a)? (-^H-ä^ respectivement. 



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