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les régions, depuis celles de la première catégorie jusqu'à celles de 

 la catégorie k — 1 inclusivement. Il est évident que les valeurs de 

 'i dans ces régions là ne dépendent que des valeurs de sur les 

 nappes que nous venons d'envisager. J'admets provisoirement qu'il 

 soit possible de disposer de ces valeurs de de façon que. dans 

 chacune des régions précédentes, la fonction A ait une valeur con- 

 stante donnée. Je dis qu'il suffira de disposer convenablement des 

 valeurs de sur les nappes de la catégorie k pour que, dans cha- 

 cune des régions de la catégorie k. la fonction i ait aussi une va- 

 leur donnée. En effet, soit (Ä,) une des régions de la catégorie k et 

 (S,,) la nappe de catégorie k qui la sépare d'une région {R^) de 

 catégorie k - 1. Désignons ])ar il/,^ la valeur constante de la fonc- 

 tion d; dans la région (i^vj- On verra aisément que la valeur de •]/ 

 dans la région (/?,) sera donnée par la formule: 



Cela prouve qu'il suffira de disposer convenablement de la con- 

 stante 0,, pour que. dans la région (Ä,), la fonction J; acquière la 

 valeur voulue. Par conséquent, dans l'hypothèse où nous nous som- 

 mes placés, on pourra, en choisissant convenablement les valeurs 

 de sur les nappes de la catégorie k, faire en sorte que les va- 

 leurs de 'h dans les régions de la catégorie k soient égales à des 

 constantes données. De là ''t de ce que nous avons établi au sujet 

 des régions de première catégorie résulte la conséquence suivante: 

 exception faite de la région (iîo)? <^î' ^^ fonction <]/ est toujours nulle, 

 elle prend dans toutes les autres régions des valeurs qui. par un 

 choix convenable des constantes (63). peuvent être rendues égales 

 à des constantes données quelconques. 



Il est aisé de prouver maintenant qu'il ne saurait y avoir 

 aucune relation nécessaire à laquelle devraient satisfaire les con- 

 stantes (60) et (62). En effet, remplaçons ç par © -|- 0; cela n'influera 



pas sur la valeur de y^^ et par conséquent la fonction u ne chan- 



géra pas; au contraire les valeurs de l'expression (59) dans les p 

 régions non infinies du d(jmainc (/)') auront varié de constantes 

 arbitraires. Pareillement les nouvelles valeurs de l'expression (61), 

 dans les q régions formant le domaine intérieur {D). se déduiront 

 des valeurs primitives en ajoutant à celles-ci des constantes arbi- 

 traires. En résumé, nous avons prouvé que. par une modification 



