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une solution du problème de Dirichlet et d'établir par cela-même 

 le principe qui porte le nom de ce célèbre géomètre. Posons 



L'équation (66) prendra la forme 



(70) {v'\ - {v'I = \ { {v'I + {v'I } + 29' . 



D'ailleurs, d'après ce que nous avons vu, nous saurons cal- 

 culer la fonction tf'. Cela posé, considérons la série (65). La fonction 

 (p' étant connue, on calculera de proche en proche, de la façon bien 

 connue, les coefficients v^\ v^, v'o, ■ . . de cette série. Or 'le rayon 

 de convergence de la série précédente est supérieur à l'unité. Par 

 conséquent, cette série permettra de calculer la fonction v' aussi 

 bien pour a ^ -)- 2 que pour X = — 1. D'autre part, l'équation (70) 

 donne: 



1 -{(t,').>x.+, = 9' ^ ^ 



Or, d'une part, la différence 9 — 9' reste constante sur chaque 

 nappe de la surface [S) et. d'autre part, nous avons appris, au Nr. 9, 

 à former un potentiel 4> de simple couche, répandue sur la sur- 

 face {S), prenant sur les diverses nappes de la surface (5) des valeurs 

 égales à des constantes données. Déterminons le potentiel de simple 

 couche 4> de façon que ses valeurs sur les diverses nappes de la 

 surface (S) soient représentées par l'expression tp — 9' et reportons- 

 nous aux équations (71). Il est évident que le problème de Di- 

 richlet intérieur sera résolu par la fonction 



V " lk=—l T^ ' •^ 



tandis que la solution du problème extérieur sera fournie par l'ex- 

 pression 



Par conséquent le problème de Dirichlet est résolu et le prin- 

 cipe de Dirichlet est démontré. On voit que la solution se pré- 

 sente en général sous forme d'une somme d'un potentiel de double 

 couche et d'un potentiel de simple couche. 



Le résultat que nous venons d'obtenir n'est autre chose que 

 l'extension de la méthode de Neu mann au cas où la frontière se 

 compose d'un nombre quelconque de nappes entièrement séparées 

 les unes des autres. 



