et où, par conséquent, la condition (5) prend la forme: 
0 
sur la surface (S) et, dans ce cas particulier, il a établi la formule 
(3) en supposant que la fonction / (x, y, 2) admet des dérivées jus- 
qu'au quatrième ordre inclusivement. 
Enfin M. Poincaré a donné une foule d’apereus qui ont été de 
la plus grande utilité pour ceux qui se sont engagés dans la voie 
ouverte par lui. 
Voici les points principaux qui, après la publication des tra- 
vaux de M. Poincaré, appelaient de nouvelles recherches: 
19. Etablir rigoureusement l'existence des fonctions U, dans le 
cas général. 
20, Affranchir la théorie du Problème de Fourier réduit des 
restrictions relatives à la fonction f (x, y, 2). 
3. Ramener le Problème de Fourier général à sa forme réduite. 
h’ 
Dans le cas où „= 0, M. Le Roy!) a réussi à satisfaire d’une 
façon très complete aux deux derniers points: il a traité le Pro- 
blème de Fourier réduit en se bornant à admettre la simple con- 
tinuité de la fonction f(x, y, 2) et il a ramené le Problème de Fou- 
rier général à la forme réduite en supposant que la fonction @ 
admet par rapport à # des dérivées jusqu'au cinquième ordre in- 
elusivement et que cette fonction satisfait en outre à quelques autres 
conditions d’un caractère très général. 
De mon côté?) j'ai établi l'existence des fonctions U, dans le 
cas où le rapport a une valeur constante positive ou nulle et j'ai 
h’ 
, OR 3 : 
prouvé que, dans ce cas et dans celui où ; — 0. la fonction 
0 
f (x, y, 2) est développable en une série de la forme 
‚eg Y r 
(6) AY 2)— > 4. U, 
D 
1) Le Roy. Sur l'intégration des équations de la chaleur. (Annales de l'Ecole 
normale supérieure 1898). 
?) Zaremba. Sur l'équation aux dérivées partielles Au + Eu + f — 0 et sur 
les fonctions harmoniques. (Annales de l'Ecole normale supérieure, 1899). Zaremba. 
Sur le développement d’une fonction arbitraire en une série procédant suivant les 
fonctions harmoniques, (Note dans les C. R. pour 1899 et Journal de Mathéma- 
tiges pures et appliquées 1900). 
