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Notons encore que les inégalités (13), (22) et (35) donnent: 
36 | |D„.W)|<6$ 
(36) | D.W|<6S 
III. Théorèmes généraux relatifs a l'équation aux dérivées partielles 
Au—+Ëu— 0. 
$ 8. Pour donner une base solide aux considérations qui seront 
développées dans les chapitres ultérieurs, nous allons réunir iei cer- 
tains théorèmes généraux concernant l'équation aux dérivées par- 
tielles 
(1) Au+&u=0 
Je commence par rappeler que, si un point (x, Yo, 20) est situé 
à l’intérieur d’un domaine où la fonction u vérifie l’&quation (1), cette 
fonction est, dans le voisinage du point (4, Yo, 20), une fonction ana- 
lytique holomorphe des variables x y, 2. Cette proposition, bien connue 
d'ailleurs, peut se démontrer par un raisonnement tout-à-fait sem- 
blable à celui dont on se sert pour établir le théorème analogue 
relatif à l'équation de Laplace. 
Voici maintenant un autre théorème dû à M. Poincaré: !) lorsque 
la partie réelle du paramètre & est négative, le module de la fonc- 
tion # ne peut avoir de maximum en un point A, (%, Yo, &) Situé 
à l’intérieur du domaine où cette fonction vérifie l'équation (1). 
On peut apporter un léger perfectionnement à ce théorème: je vais 
prouver que, dans l'énoncé, on peut remplacer les mots „la partie 
réelle de £ est négative“ par les mots „la partie réelle de £ n’est 
pas positive“. En effet soit (Z) une sphère de centre 4, (x, Yo, &) 
et de rayon À assez petit pour qu’elle soit située toute entière à l’in- 
térieur du domaine dans lequel la fonction # satisfait à l'équation (1). 
Une application classique du théorème de Green donne: 
Do 1 fa d N) il = Su 
% All } NE — 2. CA 
2) Er JAN ri 4x) dNr 
(2) (S) 
Faisons coïncider le point (x, y, 2) avec le centre A, de la sphère 
N) et envisageons la fonction 
‘) Mémoire cité dans l’Introduction. 
