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mètre £. pourvu que, quand la partie réelle de £ est positive, la 
partie imaginaire ne soit pas nulle. 
La démonstration dans le cas où l’on envisage le domaine (D) 
ne se distingue de celle qui se rapporte au domaine (D) que par 
des considérations additionnelles qui ne trouvent pas place dans le 
second cas. Nous pourrons done nous borner à développer la dé- 
monstration pour le domaine (D). 
Le lemme suivant nous sera indispensable: lorsqu'une fonction 
u (æ, y, 2) vérifie l'équation (1) en tout point dont la distance à l’ori- 
gine des coordonnées est supérieure à une limite finie, lorsqu'elle 
tend uniformément vers zéro quand la distance du point (x, y, 2) 
à l'origine croît indéfiniment et lorsqu’enfin, le paramètre & ne se 
réduit pas à un nombre réel et positif, la fonction # se comporte 
à l'infini comme un potentiel généralisé ou, en termes plus précis: 
à une distance assez grande de l’origine, la fonction # peut être 
représentée au moyen d’un potentiel généralisé dérivant de masses 
situées à distance finie. 
Pour démontrer ce lemme. envisageons une sphère (I) telle que 
tous les points extérieurs à cette sphère et la surface de cette sphère 
elle-même soient situés à l’intérieur du domaine où la fonction u 
vérifie l'équation (1). Désignons par (2) le domaine intérieur à la 
sphère (©) et par (9) le domaine extérieur. Je dis d’abord que les 
modules des dérivées premières de la fonction # ont, dans le do- 
maine (2’) à une distance / de (Z) supérieure à une longueur finie d, 
non nulle mais d’ailleurs quelconque une limite supérieure finie ?). 
J'observe d’abord que la sphère (%) est une des surfaces qu'il 
est évidemment permis de substituer à la surface (S) dans la théorie 
exposée au chapitre précédent. Par conséquent si l’on désigne par a 
un nombre positif assez grand, on saura résoudre les Problèmes de 
Dirichlet. intérieur et extérieur, relatifs à l'équation 
(3) Av— àv—= 0 
et à la sphère (Æ); d’ailleurs d’après ce que l’on a vu plus haut. 
chacun de ces problèmes n’admettra qu'une solution unique. Cette 
remarque faite, cherchons une fonction # (æ, y, 2) vérifiant l'équation 
1) La restriction relative à / n’est pas nécessaire; nous la faisons intervenir 
parce que d’une part elle ne nous gênera en rien et que d'autre part elle permet 
de simplifier le raisonnement, 
