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Or il résulte de l'équation (12) que la quantité (Un) existe et est 
4 e 
une fonction continue. Il en sera done de même de la quantité 
ar Sachant cela il suffira de mettre en évidence les parties 
aN?. 
réelles et imaginaires de la fonction # et du paramètre £ pour s’as- 
surer, au moyen du théorème de Green, en s'appuyant sur le lemme 
démontré précédemment, que la fonction # est nulle identiquement. 
Dès lors les deux théorèmes énoncés au début de ce $ doivent être 
regardés comme étendus au cas où le paramètre £ ne satisfait qu’à 
la seule condition de ne pas se réduire à un nombre réel et positif. 
$ 10. Considérons une fonetion # vérifiant l'équation (1) à Vin- 
térieur du domaine (2) et la condition 
(13) (m 
sur la surface (S), la lettre A désignant une fonction réelle et 
continue, mais d’ailleurs quelconque, définie sur cette surface. 
Désignons par H le maximum de la valeur absolue de la fone- 
tion et par a, la valeur de la plus grande des deux expressions: 
(14) 16H? et = 
où les lettres c et Z représentent les mêmes nombres que dans le 
chapitre précédent. Je dis que la fonction # sera nulle identique- 
ment à moins que le paramètre £ ne se réduise à un nombre réel 
vérifiant l'inégalité suivante: ; 
(15) Eee 
Supposons d’abord que le nombre £ soit un nombre complexe de 
la forme 
£=a+ip, 
a et 8 étant deux nombres réels, le nombre ß étant différent de 
zéro et posons 
u—P+iQ 
pour mettre en évidence les partie réelle et imaginaire de la fonc- 
tion #. Nous aurons: 
AP+aP—$Q—0 
AQ+aQ+BP=0 
