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du chapitre précédent. Représentons cette valeur de £ par l’expres- 
sion — m? en désignant par m un nombre positif. Nous saurons 
alors déterminer une fonction vo admettant sur la sphère (8), les 
mêmes valeurs périphériques que la fonction u et vérifiant dans tout 
le domaine (2), sans que le point À fasse exception, l'équation sui- 
vante: 
Av — m?0 = (0. 
Posons 
W—U— 0. 
La fonction # sera continue dans tout le domaine (2) et elle satis- 
fera à l'équation 
Aw — m?w= 0 
en chaque point de ce domaine, sauf peut-être au point A. En outre 
les valeurs périphériques de la fonction # seront évidemment toutes 
égales à zéro. Il résulte de là que le module de la fonction w at- 
teindra sa limite supérieure M au point A. 
Pour mettre en évidence les parties réelle et imaginaire de la 
fonction w, posons: 
w— uw, + io 
en désignant par w, et w, deux fonctions réelles. 
Designons par P un point distinct du centre A de la sphère 
>) mais pouvant avoir d’ailleurs une position quelconque à l'inté- 
rieur de cette sphère et soit (,), et (Ws), les valeurs des fonctions 
w, et w, au point P. Décrivons du point A comme centre, une 
sphère (8°) de rayon 0 inférieur à la distance 7 du point P au 
point A. Il est aisé de voir ($ 8) que l’on aura: 
ô em ö er 
= em Ds M == (w,)r S N) I M 
Ô Ê= mr Ô = mr 
— g-md = M << (2 RE Se LR M 
et cela, si petit que soit d. On aura done: 
(201)? = (2) = 0 
Cela prouve que la fonction # est nulle identiquement. On a done: 
U ZU 
et par conséquent, comme nous voulions l’etablir, la fonetion u sa- 
tisfait à l'équation (1) même en 4. 
