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Les inégalités (7) donnent: 
(9) I; <— 2k—2 (LOMME) 
en désignant par © le volume du domaine (D). 
Il résulte des inégalités (9) que le rayon de convergence R de 
de la serie 
(10) V'y VITE 
vérifie l'inégalité 
(11) Rz Ve 
et l’on concluera aisément des inégalités (7), que le rayon de con- 
vergence absolue et uniforme dans le domaine (D), de la série (4) 
est égal au rayon de convergence À de la série (10). 
Il résulte des inégalités (40) du chapitre IV que, pour toute va- 
leur de 7 vérifiant l'inégalité 
(12) Inl<&, 
la somme w de la série (4) sera une fonction admettant, à l’inte- 
rieur du domaine (D), des dérivées premières par rapport aux va- 
riables x, y, 2, dérivées qui seront continues en chaque point situé 
à l'intérieur du domaine (1). D'autre part, il résulte des équations 
(6) que, lorsque 7 vérifie l'inégalité (12), on a: - 
10 = ie. nw) Gdi. 
(D) 
Il résulte de ces deux circonstances ainsi que du théorème exprimé 
par l'équation (25) du chapitre précédent que l’on a: 
AW + (N — 9) w + f (x, y. 2) = 0. 
En d’autres termes, la somme de la série (4) satisfait à l'équation 
(1) pourvu que l’on ait: 
(13) É+ol<E. 
Adressons-nous maintenant, selon que l’on a k—0 ou k'— 1, 
à l'inégalité (14) ou à l'inégalité (22) du chapitre IV. Ces inégalités 
permettront d'établir que, pour les valeurs de £ satisfaisant à l’iné- 
