Posons, dans l'inégalité (16): 
F=iw,44'w,, 
en désignant par À et 2’ des variables réelles. Le premier membre 
de l'inégalité considérée deviendra une forme quadratique w (2, 2’) 
des variables 2 et A’ et puisque l'inégalité (16) a lieu quelle que 
soit la fonction F (x, y, 2) la forme # (A, 2’) ne pourra, pour aucun 
système de valeurs des variables réelles 2 et 2’ devenir négative. 
On coneluera de là 1° que les Z, sont positifs même pour les va- 
leurs impaires de l'indice p, 2° que l’on a 
JE = Ipnys er 9 
On a d’ailleurs 
Î2 = Ds Dr di. 
(D) 
Par conséquent 
JÉET EN EST 
En résumé tous les Z, sont positifs et l’on a: 
ENT JS GIE Sn ci 
P—1 “1H 
Il résulte de là que la suite à termes positifs 
à 
2 Res 1e 1, IT, 
(17) PRE EU ANTON 
n'est jamais croissante. Cette suite est done convergente. Cela étant, 
on s’assurera très aisément que la suite précédente a pour limite 
le rayon de convergence R de la serie (10). 
Revenons à l'inégalité (15) et supposons que l’on ait 
n 
(18) F= Var, 
pP 
k=1 
en désignant par F\, F,,... des fonctions quelconques et par @,, @&,... 
des indéterminées réelles. D’après un théorème bien connu de M. 
Poincarét), il existera un nombre entier p, et une constante po- 
sitive #’ dépendant, comme le nombre p,, uniquement de la nature 
de la surface (5), tels que, pour toute valeur de p vérifiant l'inégalité 
(19) NE 
1) Voir par exemple le mémoire de M. Poincaré cité dans l’Introduction. 
