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et quelles que soient les fonctions F}, Fy,...F,, il soit possible de 
déterminer les facteurs @,, &,...@, au moyen d’un certain système 
P) 
d'équations linéaires et homogènes contenant au plus p—7 équations 
distinctes, de façon que l’on ait: 
NO Haze rt fra 
(D) (D) 
Cette Be et l’inegalite (15) donnent: 
Ji > ++ IE F:| di + frs 2ds> = prp3 | rear. 
(D) (S) (D) 
On aura done a fortiori: 
SION el i£ : 
ROLE Dors. \u+ fara=Es à fr dr. 
(D) i (S) (D) (20) 
En résumé, nous obtenons le théorème suivant: quelles que soient 
les fonctions Æ#,,.. Æ°, lorsque le nombre entier et positif p satis- 
fait à l'inégalité (19), il suffit d'établir un certain systeme de rela- 
tions linéaires et homogènes entre les &,,... système comprenant 
LE) 
au plus p—1 équations, pour que l'inégalité (20) ait lieu. 
Les considérations que nous venons de développer dans ce $, 
concernent le cas où l’on a #’= 1. Il est superflu de développer 
les considérations analogues relatives au cas où 4 — 0: elles sont 
bien connues et d’ailleurs, elles ne se distingueraient de celles qui 
précèdent que par leur simplicité plus grande puisque lon n'aurait 
pas à faire usage de l’inégalité (15). 
$ 20. En s'appuyant sur les résultats établis dans les deux $ 
précédents et sur les propositions des $$ 9 et 10, on établira au 
moyen de la méthode bien connue de M. Poincaré les théorèmes 
suivants !). 
Théorème I. La surface (S) et les quantités h’ et h étant don- 
nées (je rappelle que h’ est une constante qui ne peut être égale 
qu'à zéro ou à l'unité et que Ah est une fonction continue réelle 
quelconque définie sur la surface (S)) il existe une suite infinie de 
fonctions réelles 
U A. (21) 
!) Voir les travaux cités dans l’Introduction. 
