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le paramètre & est nécessairement égal à l’un des termes £, de la 
suite (23) et la fonction U est identique à une combinaison linéaire 
et homogène à coefficients constants de celles des fonctions (21) 
(dont le nombre à cause de l'inégalité (26) est toujours fini) qui ont 
pour nombre caractéristique commun le nombre &,. 
Théorème II. La série (4) définit une fonction des variables x, y, 2 
et du paramètre & qui jouit des propriétés suivantes: 
1° Considérée comme fonction du paramètre &, la fonction w est 
une fonction analytique meromorphe dans toute partie finie du plan 
de la variable complexe &; ses pôles sont simples et réels et il font 
tous partie de la suite (23); enfin, si le nombre 5, est un pôle de 
la fonction w et si l’on représente par &,, &,...&8, l’ensemble des 
termes de la suite (23) qui ont &, pour valeur commune, le résidu 
correspondant P, aura la valeur suivante: 
PDU # U., f (æ ÿ, 2) di. 
=) 
Cela prouve, faisons-le remarquer, que, pour que le point (£) ne 
soit pas un pôle de la fonction w, il faut et il suffit que l’on ait! 
Ur J (y, 2) du —0 (WE, RE) (29) 
(D) 
2° Pour toute valeur finie de £ distincte des pôles de la fonc- 
tion w, cette fonction satisfait à l'équation (1) à l’intérieur du do- 
maine (D) et à la condition (2) en chaque point de la surface (S) 
3° Si l’on désigne par & un nombre ne se réduisant à aucun 
terme de la suite (23), il existe une fonetion unique q vérifiant la 
condition aux limites 
‚dp 
h INT hop (30) 
et satisfaisant à l'équation 
Ap+Ep+f(sy,2) = 0 (31) 
à l'intérieur du domaine (D) et l’on a 
D—wi(r, y, 21€) 
