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en désignant par w (x, y, 2, &) la fonction dont un élément analy- 
tique, quand on considère cette fonction comme fonction du para- 
mètre £, est représenté par la série (4). Lorsque & est égal à l’un 
des termes de la suite (23), soit &,. il n'existe pas en général de 
fonction g vérifiant les équations (30) et (31); pour qu'une telle 
fonction existe, il faut et il suffit que la fonction / (x, y, 2) satis- 
fasse aux équations (29) et dans ce cas l'expression générale de la 
fonetion est la suivante: 
IE j 
p=w(&,)+,N C. U, 
=! 
en désignant par C;, (,,... (0, des constantes arbitraires, la fonction 
p est done indéterminée, dans les conditions considérées. 
Théorème III. Pour toute valeur de & distincte des termes de 
la suite (23), il existe une fonction unique u vérifiant l'équation 
Au+ËEu—0 
à l’intérieur du domaine (D) et satisfaisant à la condition aux li- 
mites 
du 
"— —=hu-to 
dN an 
en désignant par o, une fonction continue quelconque donnée, de- 
finie sur la surface ($) et en supposant que, dans le cas où l’on a 
h — 0, la fonction continue et réelle À ne s’annule en aucun point 
de la surface (S). Considérée comme fonction du paramètre &, la 
fonetion u jouit de propriétés analogues à celles de la fonction w 
qui a été envisagée dans le théorème précédent. 
Corollaire. La fonction # considérée au chapitre IV existe et 
o 
est parfaitement déterminée pour toute valeur de £ distincte des 
termes de la suite (23). A 
Théorème IV. La fonction de Green généralisée existe et est 
parfaitement déterminée pour toute valeur de £ distincte des termes 
de la suite (23). Par contre cette fonction n'existe pour aucune va- 
leur de £ égale à l’un des termes de cette suite. 
La première partie de ce théorème est un simple corollaire du 
théorème III. Quand à la seconde partie, elle est une conséquence 
immédiate de la remarque suivante: si pour une valeur & de & la 
fonction de Green existe toute fonction U vérifiant l’équation 
u) 
